求解热时间常数谱函数

　　我们再看回R（τ），其实如果我们知道了R（τ）的表达式，那么我们就相当于知道了这个系统的热阻和热容的关系，也就是知道了这个系统(福斯特网络)的所有结构。那么为了得到我们系统的热阻热容结构，下面就开始把R（τ）求出来：

　　观察右边的形式，其实就是信号处理里最常见的卷积形式，即

　　到这里我们就得到了R（τ）的解析式，离结构还差一步之遥!

　　我们看看(式9)，W_z（Z）是已知的可积函数，d／dz·a（z）是单位阶跃响应(时间对数化后)的微分，也就是导数，我们都可以用计算机算出来。剩下的就只有反卷积运算了。反卷积运算的方法有很多，比如有贝叶斯反卷积法以及傅利叶频域反卷积法，都是很成熟的算法，这里要涉及的知识较多，就不一一展开了。

　　现在我们得到了R（z）——热时间常数谱函数，它实际的图像如图9所示。

图9 实际样品的热时间常数谱图

　　这个函数图像就是经过上述的数学变换及数学运算得出来的，我们下面就利用这个函数把热阻热容结构剖析出来。

　　从图里我们可以明显看出对应不同的 其幅值有不同起伏变化，表现出一定的离散性，我们就由此来定义这个热时间常数谱函数：

　　简单来说就是把这个函数切成无数个小块，把这些小块都拼接起来就是R（ζ）了。而这每一个小块就是对应1阶福斯特结构，如图10所示。

图10 热时间常数谱函数图像与n阶福斯特网络对应关系

　　根据 的定义，我们可以得到

　　福斯特-考尔网络转换

　　很多读者应该会认为到这里已经结束了，但事实上，这只是对应福斯特网络的热阻热容值，

　　而在福斯特网络这个模型里的热容是节点到节点的热容值，它与器件的实际情况不一致，是没有对应的物理意义的。为什么呢?这里我们把这个小问题留给大家(提示：用电容来举例，假如一个系统由若干个电容串联，系统的总容值与各个电容的关系怎么算?)。因此福斯特结构并不适合描述我们半导体器件的热阻热容特性。

　　虽然福斯特结构不适合用来描述我们实际器件的情形，但有另一种结构却可以与它相互转换，这个结构我们称为考尔(Cauer)结构，如图11所示。

图11 a)福斯特结构;b)考尔结构

　　福斯特结构与考尔结构对于单端无源RC网络都是等价的，因为他们可以相互转换，但考尔结构与我们谈到的器件的热阻热容结构可以说是完全吻合，我们之所以谈了这么多福斯特结构是因为它的时间常数计算是一种很优秀的数学手段，同时减少了很多复杂的计算。

　　由于篇幅有限，这两个网络的转换过程我们这里就不做多述了，经过转换之后我们会得到的R_thi和C_thi的新的表达形式。

　　绘制结构函数

　　我们得到了考尔网络对应下的热阻R_thi和热容C_thi，但这些参数都不能直观地表示出来，我们现在用图3构造的模型把这个阻容结构表示出来，如图12所示。

图12 理想一维热传导模型

　　图12中： 表示平行于热流路径的材料厚度;A表示垂直于热流路径的材料横截面积; 表示材料的热导率; 表示单位体积的热容值。我们可以得出总热阻与总热容的表达式：

　　利用(式13)与(式14)，与考尔网络对应下的热阻R_thi和热容C_thi结合，我们就得到我们苦苦追求的结构函数，如图13所示：

图13 考尔结构与结构函数的对应

　　至此我们对结构函数的推导终于结束了～

　　在最后，我们再把整个推导用流程图的方式展示出来，如图14所示：

图14 结构函数推导流程图